Um pentágono é um polígono com cinco lados retos. Quase todos os problemas que você encontrará nas aulas de matemática cobrirão pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Existem duas maneiras comuns de localizar a área, dependendo da quantidade de informações que você possui.
Passos
Método 1 de 3: Encontrando a Área do Comprimento Lateral e Apothem
Etapa 1. Comece com o comprimento lateral e um ponto
Este método funciona para pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Além do comprimento lateral, você precisará do "apótema" do pentágono. O apótema é a linha que vai do centro do pentágono a um lado, cruzando o lado em um ângulo reto de 90º.
- Não confunda o apótema com o raio, que toca um canto (vértice) em vez de um ponto médio. Se você conhece apenas o comprimento e o raio do lado, pule para o próximo método.
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Usaremos um pentágono de exemplo com comprimento lateral
Etapa 3. unidades e apothe
Passo 2. unidades.
Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos
Desenhe cinco linhas do centro do pentágono, levando a cada vértice (canto). Agora você tem cinco triângulos.
Etapa 3. Calcule a área de um triângulo
Cada triângulo tem um base igual ao lado do pentágono. Ele também tem um altura igual ao apótema do pentágono. (Lembre-se de que a altura de um triângulo vai de um vértice até o lado oposto, em um ângulo reto.) Para encontrar a área de qualquer triângulo, basta calcular ½ x base x altura.
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Em nosso exemplo, área do triângulo = ½ x 3 x 2 =
Etapa 3. unidades quadradas.
Etapa 4. Multiplique por cinco para encontrar a área total
Dividimos o pentágono em cinco triângulos iguais. Para encontrar a área total, basta multiplicar a área de um triângulo por cinco.
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Em nosso exemplo, A (pentágono total) = 5 x A (triângulo) = 5 x 3 =
Etapa 15. unidades quadradas.
Método 2 de 3: Encontrando a área a partir do comprimento lateral
Etapa 1. Comece apenas com o comprimento lateral
Esse método funciona apenas para pentágonos regulares, que têm cinco lados de igual comprimento.
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Neste exemplo, usaremos um pentágono com comprimento lateral
Etapa 7. unidades.
Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos
Desenhe uma linha do centro do pentágono até qualquer vértice. Repita isso para cada vértice. Agora você tem cinco triângulos, cada um do mesmo tamanho.
Etapa 3. Divida um triângulo ao meio
Desenhe uma linha do centro do pentágono até a base de um triângulo. Essa linha deve atingir a base em um ângulo reto de 90º, dividindo o triângulo em dois triângulos iguais e menores.
Etapa 4. Identifique um dos triângulos menores
Já podemos rotular um lado e um ângulo do triângulo menor:
- o base do triângulo é ½ do lado do pentágono. Em nosso exemplo, isso é ½ x 7 = 3,5 unidades.
- o ângulo no centro do pentágono é sempre 36º. (Começando com um centro completo de 360º, você pode dividi-lo em 10 desses triângulos menores. 360 ÷ 10 = 36, então o ângulo de um triângulo é 36º.)
Etapa 5. Calcule a altura do triângulo
o altura desse triângulo é o lado perpendicular à borda do pentágono, levando ao centro. Podemos usar trigonometria inicial para encontrar o comprimento deste lado:
- Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto, dividido pelo comprimento do lado adjacente.
- O lado oposto ao ângulo de 36º é a base do triângulo (metade do lado do pentágono). O lado adjacente ao ângulo de 36º é a altura do triângulo.
- tan (36º) = oposto / adjacente
- Em nosso exemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
- altura x bronzeado (36º) = 3,5
- altura = 3,5 / bronzeado (36º)
- altura = (cerca de) 4.8 unidades.
Etapa 6. Encontre a área do triângulo
A área de um triângulo é igual a ½ base x altura. (A = ½bh.) Agora que você sabe a altura, insira esses valores para encontrar a área do seu pequeno triângulo.
Em nosso exemplo, Área do triângulo pequeno = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4 unidades quadradas
Etapa 7. Multiplique para encontrar a área do pentágono
Um desses triângulos menores cobre 1/10 da área do pentágono. Para encontrar a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.
Em nosso exemplo, a área de todo o pentágono = 8,4 x 10 = 84 unidades quadradas.
Método 3 de 3: usando uma fórmula
Etapa 1. Use o perímetro e apotema
O apótema é uma linha do centro de um pentágono, que atinge um lado em um ângulo reto. Se você tiver seu comprimento, você pode usar esta fórmula fácil
- Área de um pentágono regular = pa / 2, onde p = o perímetro e a = o apótema.
- Se você não souber o perímetro, calcule-o a partir do comprimento do lado: p = 5s, onde s é o comprimento do lado.
Etapa 2. Use o comprimento lateral
Se você souber apenas o comprimento do lado, use a seguinte fórmula:
- Área de um pentágono regular = (5 s 2) / (4tan (36º)), onde s = comprimento lateral.
- tan (36º) = √ (5-2√5). Portanto, se sua calculadora não tiver uma função "tan", use a fórmula Área = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Etapa 3. Escolha uma fórmula que use apenas raio
Você pode até encontrar a área se conhecer apenas o raio. Use esta fórmula:
Área de um pentágono regular = (5/2) r 2sin (72º), onde r é o raio.
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Pontas
- Pentágonos irregulares ou pentágonos com lados desiguais são mais difíceis de estudar. A melhor abordagem geralmente é dividir o pentágono em triângulos e somar a área de cada triângulo. Você também pode precisar desenhar uma forma maior ao redor do pentágono, calcular sua área e subtrair a área do espaço extra.
- Os exemplos fornecidos aqui usam valores arredondados para tornar a matemática mais simples. Se você medir um polígono real com o comprimento do lado fornecido, você obterá resultados ligeiramente diferentes para os outros comprimentos e áreas.
- Se possível, use um método geométrico e um método de fórmula e compare os resultados para confirmar se você tem a resposta certa. Você pode obter respostas ligeiramente diferentes se inserir a fórmula de uma só vez (já que não vai arredondar ao longo do caminho), mas elas devem estar muito próximas.
- As fórmulas são derivadas de métodos geométricos, semelhantes aos descritos aqui. Veja se você consegue descobrir como inventá-los. A fórmula do raio é mais difícil de derivar do que as outras (dica: você precisará da identidade de ângulo duplo).