3 maneiras simples de encontrar a área de um pentágono

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3 maneiras simples de encontrar a área de um pentágono
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Vídeo: 3 maneiras simples de encontrar a área de um pentágono

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Anonim

Um pentágono é um polígono com cinco lados retos. Quase todos os problemas que você encontrará nas aulas de matemática cobrirão pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Existem duas maneiras comuns de localizar a área, dependendo da quantidade de informações que você possui.

Passos

Método 1 de 3: Encontrando a Área do Comprimento Lateral e Apothem

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 1
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 1

Etapa 1. Comece com o comprimento lateral e um ponto

Este método funciona para pentágonos regulares, com cinco lados iguais. Além do comprimento lateral, você precisará do "apótema" do pentágono. O apótema é a linha que vai do centro do pentágono a um lado, cruzando o lado em um ângulo reto de 90º.

  • Não confunda o apótema com o raio, que toca um canto (vértice) em vez de um ponto médio. Se você conhece apenas o comprimento e o raio do lado, pule para o próximo método.
  • Usaremos um pentágono de exemplo com comprimento lateral

    Etapa 3. unidades e apothe

    Passo 2. unidades.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 2
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 2

Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos

Desenhe cinco linhas do centro do pentágono, levando a cada vértice (canto). Agora você tem cinco triângulos.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 3
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 3

Etapa 3. Calcule a área de um triângulo

Cada triângulo tem um base igual ao lado do pentágono. Ele também tem um altura igual ao apótema do pentágono. (Lembre-se de que a altura de um triângulo vai de um vértice até o lado oposto, em um ângulo reto.) Para encontrar a área de qualquer triângulo, basta calcular ½ x base x altura.

  • Em nosso exemplo, área do triângulo = ½ x 3 x 2 =

    Etapa 3. unidades quadradas.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 4
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 4

Etapa 4. Multiplique por cinco para encontrar a área total

Dividimos o pentágono em cinco triângulos iguais. Para encontrar a área total, basta multiplicar a área de um triângulo por cinco.

  • Em nosso exemplo, A (pentágono total) = 5 x A (triângulo) = 5 x 3 =

    Etapa 15. unidades quadradas.

Método 2 de 3: Encontrando a área a partir do comprimento lateral

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 5
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 5

Etapa 1. Comece apenas com o comprimento lateral

Esse método funciona apenas para pentágonos regulares, que têm cinco lados de igual comprimento.

  • Neste exemplo, usaremos um pentágono com comprimento lateral

    Etapa 7. unidades.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 6
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 6

Etapa 2. Divida o pentágono em cinco triângulos

Desenhe uma linha do centro do pentágono até qualquer vértice. Repita isso para cada vértice. Agora você tem cinco triângulos, cada um do mesmo tamanho.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 7
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 7

Etapa 3. Divida um triângulo ao meio

Desenhe uma linha do centro do pentágono até a base de um triângulo. Essa linha deve atingir a base em um ângulo reto de 90º, dividindo o triângulo em dois triângulos iguais e menores.

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 8
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 8

Etapa 4. Identifique um dos triângulos menores

Já podemos rotular um lado e um ângulo do triângulo menor:

  • o base do triângulo é ½ do lado do pentágono. Em nosso exemplo, isso é ½ x 7 = 3,5 unidades.
  • o ângulo no centro do pentágono é sempre 36º. (Começando com um centro completo de 360º, você pode dividi-lo em 10 desses triângulos menores. 360 ÷ 10 = 36, então o ângulo de um triângulo é 36º.)
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 9
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 9

Etapa 5. Calcule a altura do triângulo

o altura desse triângulo é o lado perpendicular à borda do pentágono, levando ao centro. Podemos usar trigonometria inicial para encontrar o comprimento deste lado:

  • Em um triângulo retângulo, o tangente de um ângulo é igual ao comprimento do lado oposto, dividido pelo comprimento do lado adjacente.
  • O lado oposto ao ângulo de 36º é a base do triângulo (metade do lado do pentágono). O lado adjacente ao ângulo de 36º é a altura do triângulo.
  • tan (36º) = oposto / adjacente
  • Em nosso exemplo, tan (36º) = 3,5 / altura
  • altura x bronzeado (36º) = 3,5
  • altura = 3,5 / bronzeado (36º)
  • altura = (cerca de) 4.8 unidades.
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 10
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 10

Etapa 6. Encontre a área do triângulo

A área de um triângulo é igual a ½ base x altura. (A = ½bh.) Agora que você sabe a altura, insira esses valores para encontrar a área do seu pequeno triângulo.

Em nosso exemplo, Área do triângulo pequeno = ½bh = ½ (3,5) (4,8) = 8,4 unidades quadradas

Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 11
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 11

Etapa 7. Multiplique para encontrar a área do pentágono

Um desses triângulos menores cobre 1/10 da área do pentágono. Para encontrar a área total, multiplique a área do triângulo menor por 10.

Em nosso exemplo, a área de todo o pentágono = 8,4 x 10 = 84 unidades quadradas.

Método 3 de 3: usando uma fórmula

Encontre a área de um pentágono regular - Etapa 12
Encontre a área de um pentágono regular - Etapa 12

Etapa 1. Use o perímetro e apotema

O apótema é uma linha do centro de um pentágono, que atinge um lado em um ângulo reto. Se você tiver seu comprimento, você pode usar esta fórmula fácil

  • Área de um pentágono regular = pa / 2, onde p = o perímetro e a = o apótema.
  • Se você não souber o perímetro, calcule-o a partir do comprimento do lado: p = 5s, onde s é o comprimento do lado.
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 13
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 13

Etapa 2. Use o comprimento lateral

Se você souber apenas o comprimento do lado, use a seguinte fórmula:

  • Área de um pentágono regular = (5 s 2) / (4tan (36º)), onde s = comprimento lateral.
  • tan (36º) = √ (5-2√5). Portanto, se sua calculadora não tiver uma função "tan", use a fórmula Área = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 14
Encontre a área de um Pentágono regular - Etapa 14

Etapa 3. Escolha uma fórmula que use apenas raio

Você pode até encontrar a área se conhecer apenas o raio. Use esta fórmula:

Área de um pentágono regular = (5/2) r 2sin (72º), onde r é o raio.

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Pontas

  • Pentágonos irregulares ou pentágonos com lados desiguais são mais difíceis de estudar. A melhor abordagem geralmente é dividir o pentágono em triângulos e somar a área de cada triângulo. Você também pode precisar desenhar uma forma maior ao redor do pentágono, calcular sua área e subtrair a área do espaço extra.
  • Os exemplos fornecidos aqui usam valores arredondados para tornar a matemática mais simples. Se você medir um polígono real com o comprimento do lado fornecido, você obterá resultados ligeiramente diferentes para os outros comprimentos e áreas.
  • Se possível, use um método geométrico e um método de fórmula e compare os resultados para confirmar se você tem a resposta certa. Você pode obter respostas ligeiramente diferentes se inserir a fórmula de uma só vez (já que não vai arredondar ao longo do caminho), mas elas devem estar muito próximas.
  • As fórmulas são derivadas de métodos geométricos, semelhantes aos descritos aqui. Veja se você consegue descobrir como inventá-los. A fórmula do raio é mais difícil de derivar do que as outras (dica: você precisará da identidade de ângulo duplo).

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